এক ব্যক্তির 14 জন বন্ধুর মধ্যে 4 জন ডাক্তার। তিনি কত প্রকারে 9 জনকে নিমন্ত্রণ করতে পারেন যাদের মধ্যে 3 জন ডাক্তার থাকবেন?

এই সমস্যাটি বিন্যাস ও সমাবেশ (Permutation and Combination) অধ্যায়ের সমাবেশের (Combination) ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে।

সমাবেশ হলো কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু থেকে কিছু সংখ্যক বস্তু নির্বাচন করার পদ্ধতি, যেখানে নির্বাচনের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। এর সূত্র হলো: \(\text{}^{n}\text{C}_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

প্রশ্নে দেওয়া তথ্যগুলো হলো:

    
• মোট বন্ধু সংখ্যা = 14 জন
    
• ডাক্তার বন্ধু সংখ্যা = 4 জন
    
• সুতরাং, ডাক্তার নন এমন বন্ধুর সংখ্যা = \(14 - 4 = 10\) জন
    
• মোট আমন্ত্রিত অতিথির সংখ্যা = 9 জন
    
• আমন্ত্রিত ডাক্তার বন্ধুর সংখ্যা = 3 জন
    
• সুতরাং, আমন্ত্রিত ডাক্তার নন এমন বন্ধুর সংখ্যা = \(9 - 3 = 6\) জন

আমাদের 9 জন বন্ধুকে আমন্ত্রণ জানাতে হবে, যাদের মধ্যে 3 জন ডাক্তার থাকবেন। এই প্রক্রিয়াটিকে দুটি ধাপে ভাগ করা যেতে পারে:

    

1. 4 জন ডাক্তার বন্ধুর মধ্য থেকে 3 জন ডাক্তার নির্বাচন করা:

           

   এটি করা যাবে \(\text{}^{4}\text{C}_{3}\) উপায়ে।

       
    

2. 10 জন (14 - 4) ডাক্তার নন এমন বন্ধুর মধ্য থেকে 6 জন (9 - 3) বন্ধু নির্বাচন করা:

           

   এটি করা যাবে \(\text{}^{10}\text{C}_{6}\) উপায়ে।

       

যেহেতু এই দুটি নির্বাচন স্বাধীন ঘটনা, তাই মোট কত প্রকারে 9 জনকে নিমন্ত্রণ করা যাবে তা বের করতে এই দুটি উপায় গুণ করতে হবে।

মোট নিমন্ত্রণ করার উপায় = (3 জন ডাক্তার নির্বাচনের উপায়) \(\times\) (6 জন ডাক্তার নন এমন বন্ধু নির্বাচনের উপায়)

মোট নিমন্ত্রণ করার উপায় = \(\text{}^{4}\text{C}_{3} \times \text{}^{10}\text{C}_{6}\)

অথবা, \(\text{}^{10}\text{C}_{6} \times \text{}^{4}\text{C}_{3}\)

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি হলো \(\text{}^{10}\text{C}_{6} \times \text{}^{4}\text{C}_{3}\).